算術 (arithmetic)
Robinson 算術 (Q)
有限公理化可能
公理
$ \forall n_{\in\N}(Sn\ne 0)
$ \forall n,m_{\in\N}(Sn=Sm\to n=m)
$ \forall n_{\in\N}(n=0\lor\exist m_{\in\N}(Sm=n))
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n)
$ \forall n,m_{\in\N}(n+Sm=S(n+m))
$ \forall n_{\in\N}(n\times 0=0)
$ \forall n,m_{\in\N}(n\times Sm=(n\times m)+n)
Presburger 算術
公理は組$ (\N,0_{\in\N},1_{\in\N},+_{:\N\times\N\to\N})を定める
$ \forall n_{\in\N}(0\ne n+1)
$ \forall n,m_{\in\N}(x+1=y+1\to x=y)
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n)
$ \forall n,m_{\in\N}(n+(n+1)=(n+m)+1)
公理圖式$ (P(0)\land\forall n_{\in\N}(P(n)\to P(n+1)))\to\forall n_{\in\N}P(n)
n 階算術の model を$ \cal Nとし、其の理論を$ {\rm Th}({\cal N}):=\{\theta|{\cal N}\vDash\theta\}と書く。眞理述語$ T、卽ち n 階算術の文$ \thetaが妥當か否かをその Gödel 數$ \#\thetaから判定する文$ {\cal N}\vDash T(\#\theta)\iff{\cal N}\vDash\thetaが、n 階算術の文であるとしたら矛盾する$ {\rm Th}({\cal N})\cup\{T\}\vDash\bot。$ T\notin{\rm Th}({\cal N}) 初等函數算術 (EFA (elementary function arithmetic)。指數函數算術)
初等歸納的算術 (elementary recursive arithmetic。ERA)
原始歸納的算術 (primitive recursive arithmetic。PRA)
階層