算術 (arithmetic)
Robinson 算術 (Q)
有限公理化可能
公理
$ \forall n_{\in\N}(Sn\ne 0).
$ \forall n,m_{\in\N}(Sn=Sm\to n=m).
$ \forall n_{\in\N}(n=0\lor\exist m_{\in\N}(Sm=n)).
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+Sm=S(n+m)).
$ \forall n_{\in\N}(n\times 0=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\times Sm=(n\times m)+n).
Presburger 算術
公理は組$ (\N,0_{\in\N},1_{\in\N},+_{:\N\times\N\to\N})を定める
$ \forall n_{\in\N}(0\ne n+1).
$ \forall n,m_{\in\N}(x+1=y+1\to x=y).
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+(n+1)=(n+m)+1).
公理圖式$ (P(0)\land\forall n_{\in\N}(P(n)\to P(n+1)))\to\forall n_{\in\N}P(n)
初等函數算術 (EFA (elementary function arithmetic)。指數函數算術)
初等歸納的算術 (elementary recursive arithmetic; ERA)
原始歸納的算術 (primitive recursive arithmetic; PRA)