算術 (arithmetic)
公理。組$ (\N,0_{\in\N},S_{:\N\to\N})は以下を滿たす
$ 0\in\N.
後者 (successor)$ \forall n_{\in\N}\exist Sn_{\in\N}
$ \neg\exist n_{\in\N}(Sn=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\ne m\to Sn\ne Sm).
述語$ Pに關する公理圖式 (數學的歸納法 (歸納法))$ (P(0)\land\forall n_{\in\N}(P(n)\to P(Sn)))\to\forall n_{\in\N}P(n) 加法$ +:\N\times\N\to\Nは以下を滿たす
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+Sm=S(n+m)).
乘法$ \times:\N\times\N\to\Nは以下を滿たす
$ \forall n_{\in\N}(n\times 0=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\times Sm=(n\times m)+n).
後者は$ S0を加法で作用させる (足す) 事に一致する$ Sn=n+S0
自然數$ \Nは$ 0を加法$ +の單位元且つ乘法$ \timesの零元として環を成す Robinson 算術 (Q)
有限公理化可能
公理
$ \forall n_{\in\N}(Sn\ne 0).
$ \forall n,m_{\in\N}(Sn=Sm\to n=m).
$ \forall n_{\in\N}(n=0\lor\exist m_{\in\N}(Sm=n)).
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+Sm=S(n+m)).
$ \forall n_{\in\N}(n\times 0=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\times Sm=(n\times m)+n).
Presburger 算術
公理は組$ (\N,0_{\in\N},1_{\in\N},+_{:\N\times\N\to\N})を定める
$ \forall n_{\in\N}(0\ne n+1).
$ \forall n,m_{\in\N}(x+1=y+1\to x=y).
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+(n+1)=(n+m)+1).
公理圖式$ (P(0)\land\forall n_{\in\N}(P(n)\to P(n+1)))\to\forall n_{\in\N}P(n)
初等函數算術 (EFA (elementary function arithmetic)。指數函數算術)
初等歸納的算術 (elementary recursive arithmetic; ERA)
原始歸納的算術 (primitive recursive arithmetic; PRA)
topos$ \bf Eの對象$ Nは、$ 1\xrightarrow{\zeta}N\xrightarrow{\sigma}Nとなる圖式の中で餘普遍的なもので定まるなら自然數對象 (NNO) と呼ぶ